Modern Matematik

Kümeler kuramının, dolayısıyla modern matematiğin babası Georg Cantor'dur (1845-1918). Cantor, Berlin Üniversitesi'nde Kummer'in öğrencisi olarak 1869'da sayılar kuramında tezini bitirdikten sonra, meslek hayatının sonuna kadar çalışacağı Halle Üniversitesi'nde işe başlamıştır.

Profesyonel matematikçiliğin ilk yıllarında, aynı üiversiteden E.Heine'nin Cantor'a sorduğu bir soru Cantor'un yaşamını, matematiğin de seyrini değiştirecekti. Soru şuydu: [0,2pi] aralığında toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır?

Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır: Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılar aynı çoklukta değildir. Başka bir ifadeyle, rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesi arasında, her ikisi de sonsuz olmasına karşın, bir eşleşme yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir. Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman "çokluğu" açısından sınıflandırılması sorunu çıktı. Bu son kavram "sonsuzun" tek değil, çok olduğunu söylemektedir. Bu da çok tepki çekecekti.

Tarih boyunca, Zeno'dan başlayarak, günümüze kadar, sonsuzluk kavramı ve düşüncesi insanları rahatsız etmiştir. Aristo'dan Cantor'a kadar geçen zaman diliminde "sonsuz" anlayışı, temelde Aristo'nun görüşü olan şu anlayıştır: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı içinkullandığımız bir kavramdır. Bu kavramı "sınırsızlık" kavramı yerine kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye "sonsuza gidiyor" deriz. Başka bir deyimle, Aristo'nun sonsuz anlayışı "potansiyel sonsuz" anlayışıdır.

Cantor'a göre ise "sonsuz" tek başına anlamlı bir sözcük değildir. Anlamlı olan "sonsuz küme" kavramıdır. Sonsuz kümeler de var olan nesnelerdir. Burada "sonsuz küme" deyimi, "büyükanne" gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır. O halde kümeler önce sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarında, sonsuzluklarına göre çeşitli sınıflara ayrılacaklardır. Böylelikle ortaya sayısız "sonsuz küme" sınıfları çıkacaktır. Bu da çok çeşitli "sonsuzlğun" olduğu anlamına gelmektedir.

Cantor'un bu sonsuzluk anlayışı, Leopold Kronecker ve Henri Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepkiyle karşılandı. Bunun sonucu olarak da, matematikçiler, "sonsuzu" Cantor gibi algılayanlar ve Aristo gibi algılayanlar olmak üzere iki gruba ayrıldılar.

Yazının tamamı Matematik Dünyası Dergisinin 2004/2 sayısında.